Все права защищены. Произведение предназначено исключительно для частного использования. Никакая часть электронного экземпляра данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для публичного или коллективного использования без письменного разрешения владельца авторских прав. За нарушение авторских прав законодательством предусмотрена выплата компенсации правообладателя в размере до 5 млн. рублей (ст. 49 ЗОАП), а также уголовная ответственность в виде лишения свободы на срок до 6 лет (ст. 146 УК РФ).

Моей сестре Кэри, одной из шести миллиардов

Есть люди, думающие, что число песчинок бесконечно. …Другие думают, что хотя число это и не бесконечно, но большего представить себе невозможно. …Я, напротив, постараюсь доказать с геометрической точностью, которая убедит тебя, что… есть числа, превышающие число песчинок, которые можно вместить не только в пространстве, равном объему земли… но и целого мира.

— Архимед (ок. 287–212 гг. до н.э.). Исчисление песчинок[1]

Клянусь, фразы «миллиарды и миллиарды» я не говорил! Мог сказать, например, «100 миллиардов галактик и 10 миллиардов триллионов звезд». Невозможно описывать космос, не прибегая к большим числам. Я неоднократно произносил слово «миллиард» в программах телевизионного цикла «Космос», которые смотрело великое множество зрителей. Но «миллиарды и миллиарды» — ни разу. Хотя бы потому, что это слишком неопределенно. «Миллиарды и миллиарды» — это сколько? Два-три миллиарда? Двадцать? Сто? Разброс слишком велик. При подготовке новой редакции цикла телепередач я все внимательно пересмотрел и убедился, что ничего подобного не говорил.

Эту фразу сказал Джонни Карсон, гостем которого в «Вечернем шоу» я успел побывать уже не менее трех десятков раз. Он обряжается в вельветовый пиджак и водолазку, взлохмачивает волосы и, пародируя меня, эдакий двойник, запускает что-нибудь вроде «миллиардов и миллиардов» в вечерний телеэфир. И мне начинает надоедать, что эта пародия живет собственной жизнью, изрекая сентенции, которыми друзья и коллеги ошарашивают меня на следующее утро. (В остальном признаю, что серьезный астроном-любитель Карсон чаще всего говорит на строгом научном языке.)

Увы, «миллиарды и миллиарды» прижились. Людям нравится, как это звучит. Меня то и дело окликают на улице, в самолете, на вечеринке и с легким смущением просят оказать любезность и произнести: «Миллиарды и миллиарды».

— Видите ли, это не мои слова, — объясняю я.

— Ну и ладно, — отвечают мне. — Все равно скажите.

Оказывается, Шерлок Холмс никогда не говорил «элементарно, Ватсон» (по крайней мере в книгах Артура Конана Дойла), Джимми Кэгни[2] не изрекал «ты грязная крыса», а герой Хамфри Богарта[3] не произносил «сыграй это еще раз, Сэм». Но эти фразы настолько прочно укоренились в популярной культуре, что воспринимаются как действительно ска­занные.

Вот и не слишком удачное выражение про миллиарды по-прежнему приписывают мне в компьютерных журналах («Карл Саган сказал бы, что для этого нужны миллиарды и миллиарды байтов»), в экономических обзорах на страницах газет, в рассказах о гонорарах спортивных звезд и т.д.

В былое время я бы ни за что не повторил такого ни устно, ни письменно — из вредности. Но теперь я это перерос. И если так надо для истории, пожалуйста:

— Миллиарды и миллиарды!

Почему эта фраза стала настолько популярной? Когда-то символом больших чисел выступал «миллион». Супербогатеи были миллионерами. Население Земли во времена Иисуса составляло около 250 млн человек. Конвент 1787 г. дал Конституцию четырем миллионам американцев; к началу Второй мировой войны нас было уже 132 млн. От Земли до Солнца 150 млн км. В Первую мировую погибли около 40 млн человек, во Вторую — 60 млн. В году 31,7 млн секунд (можете проверить). Совокупной мощи ядерных арсеналов, накопленных к концу 1980-х гг., хватило бы, чтобы уничтожить миллион Хиросим. Долгое время в большинстве случаев слово «миллион», в сущности, означало «неимоверно много».

Но времена изменились. Ныне в мире есть прослойка миллиардеров, и вовсе не потому, что деньги обесценились. Возраст Земли, по общему признанию, составляет 4,6 млрд лет. Численность населения давно превысила 6 млрд. Два ваших дня рождения разделяет один год и миллиард километров (Земля движется вокруг Солнца гораздо быстрее, чем удаляются от нее запущенные в космос «Вояджеры»). Четыре бомбардировщика В-2 стоят миллиард долларов (по другим расчетам два и даже четыре миллиарда). Годовой оборонный бюджет США с учетом всех скрытых расходов превышает $300 млрд. В случае полномасштабной ядерной войны между США и Россией сразу же погибнут около миллиарда человек. Несколько сантиметров вещества — это цепочка из миллиарда атомов. Звезды и галактики также исчисляются многими миллиардами.

В 1980 г., когда начался телевизионный показ цикла «Космос», люди были готовы считать миллиардами. Миллионов уже не хватало, они не поражали воображения. Между тем эти два слова звучат похоже, их нетрудно перепутать. Поэтому в эфире «Космоса» я произносил «миллиард» с такой подчеркнутой артикуляцией, что многие зрители сочли это акцентом или дефектом речи.

Вспоминается старая шутка. Лектор планетария рассказывает посетителям, что через 5 млрд лет Солнце превратится в красный гигант и поглотит Меркурий и Венеру, а в конечном счете, возможно, и Землю. После лекции в него вцепляется встревоженный слушатель:

— Простите, как вы сказали? Солнце сожжет Землю через пять миллиардов лет?

— Да, приблизительно.

— Слава богу! Мне было послышалось «пять миллионов».

Будь то пять миллионов или пять миллиардов лет, будущая кончина Земли представляет для нас чисто теоретический интерес. Но, когда дело касается государственных бюджетов, населения планеты или числа жертв ядерной войны, разница между этими величинами имеет очень большое значение.

Фраза «миллиарды и миллиарды» пока не утратила популярности, но и ей уже недостает размаха. Не за горами новый эталон большого числа — триллион.

Мировые военные расходы уже достигают $1 трлн в год. Совокупный долг развивающихся стран западным банкам приближается к $2 трлн (по сравнению с $60 млрд в 1970 г.). Годовой бюджет правительства США также недалек от $2 трлн. Государственный долг — около $5 трлн. Расходы на технически сомнительную затею рейгановской эпохи, Стратегическую оборонную инициативу, оценивались в $1–$2 трлн. Все растения Земли весят триллион тонн. В масштабах космоса триллионами измеряется буквально всё. От Солнечной системы до ближайшей звезды, альфа Кентавра, около 40 трлн км.

В повседневной жизни люди традиционно путают миллионы, миллиарды и триллионы, и не проходит недели без подобной ошибки в теленовостях (чаще всего «страдают» миллион и миллиард). Поэтому позвольте мне лишний раз напомнить: миллион (million по-английски) — это тысяча тысяч, или единица с шестью нулями; миллиард (billion) — тысяча миллионов, единица с девятью нулями; триллион (trillion) — тысяча миллиардов (или, это то же самое, миллион миллионов), что записывается как единица с 12 нулями.

Так принято в Америке. Долгое время в британском английском словом billion обозначалось число, которое в Америке называют триллионом, а американский billion англичане — вполне обоснованно — именовали «тысячей миллионов». В Европе миллиард обозначался словом milliard. Я с детства коллекционирую почтовые марки, и у меня есть непогашенная марка, выпущенная в Германии в 1923 г., в самый разгар инфляции, с надписью «50 миллиардов». Отправить письмо стоило 50 триллионов немецких марок. (В те времена в булочную или бакалею ходили с тачкой, полной наличности.) Ныне в силу большого влияния США на мир слово milliard во многих странах вышло из употребления.

Самый надежный способ понять, о каком числе идет речь, очень прост — сосчитать нули после единицы. Правда, если нулей очень много, дело это канительное. Поэтому группы по три нуля разделяют при записи запятыми или пробелами. Например, триллион выглядит как 1,000,000,000,000 или 1 000 000 000 000. (В Европе вместо запятых ставятся точки.) Сталкиваясь с числами больше триллиона, вы должны каждый раз считать, сколько раз по три нуля в них содержится. Было бы гораздо удобнее, называя число, сразу говорить, сколько в нем нулей после единицы.

Ученые и математики, люди практичные, так и поступают — пользуются так называемым экспоненциальным представлением. Пишется число десять, к которому вверху справа приписывается мелким шрифтом показатель — число, соответствующее количеству знаков после единицы. Таким образом, 106 = 1 000 000, 109 = 1 000 000 000, 1012 = 1 000 000 000 000 и т.д. Этот показатель называется экспонентом, степенью или порядком числа. Например, 109 читается как «десять в девятой степени» (исключение составляют 102 и 103, которые принято называть «десять в квадрате» и «десять в кубе»). Понятие степени или порядка — наряду с некоторыми другими терминами из естественных наук и математики, например «параметр», — проникает в повседневный язык, но его смысл все более размывается.

Помимо наглядности у экспоненциального представления чисел есть замечательное дополнительное преимущество — возможность перемножать любые два числа простым сложением их степеней. Скажем, 1000 × 1 000 000 000 = 103 × 109 = 1012. Или возьмем числа побольше: в средней галактике 1011 звезд, самих галактик тоже 1011, следовательно, в космосе около 1022 звезд.

Тем не менее экспоненциальное представление встречают в штыки люди, у которых не ладится с математикой (хотя оно, наоборот, проще для понимания), и наборщики, которых хлебом не корми — дай набрать 109 вместо 109 (сотрудники издательства Random House, как видите, являются счастливым исключением).

Первые шесть больших чисел, имеющих названия, приводятся далее во врезке. Каждое число в 1000 раз больше предыдущего. Названия чисел больше триллиона практически не употребляются. Если считать круглые сутки без остановки, прибавляя по единице в секунду, потребуется больше недели, чтобы досчитать до миллиона. На миллиард у вас уйдет полжизни. До квинтиллиона вы не доберетесь, даже если проживете столько, сколько существует Вселенная.

Овладев экспоненциальным представлением, вы с легкостью справитесь с непостижимо большими числами, такими как примерное количество микробов в чайной ложке почвы (108), песчинок на всех земных пляжах (порядка 1020), живых существ на нашей планете (1029), атомов во всем живом на Земле (1041), атомных ядер в Солнце (1057) или элементарных частиц (электронов, протонов, нейтронов) во всем космосе (1080). Вы все равно не сможете представить миллиард или квинтиллион объектов — и никто не сможет. Но благодаря экспоненциальному представлению мы в состоянии оперировать подобными величинами и использовать их в расчетах. Неплохо для самоучек, которые явились в этот мир ни с чем и пересчитывали соплеменников по пальцам рук и ног!

По-настоящему большие числа — кровь и плоть современной науки, но не следует думать, что это сегодняшнее изобретение.

В Индии арифметика давно овладела громадными числами. В индийских газетах часто можно прочитать о расходах в лакхах или крорах рупий. Система выглядит следующим образом: дас — 10, сан — 100, хазар — 1000, лакх — 105, крор — 107, арахб — 109, карахб — 1011, ниэ — 1013, падхам — 1015 и санкх — 1017. Жившие на территории современной Мексики индейцы майя, цивилизацию которых уничтожили пришельцы из Европы, составили календарь, перед протяженностью которого меркнут жалкие несколько тысяч лет, миновавших, по мнению европейцев, от сотворения мира. Среди руин города Коба в мексиканском штате Кинтана-Роо обнаружены надписи, согласно которым майя оценивали возраст Вселенной примерно в 1029 лет. Индуисты полагали, что нынешнему воплощению Вселенной 8,6 × 109 лет, — и попали почти в точку. А математик Архимед, живший на Сицилии в III в. до н.э., в своей книге «Исчисление песчинок» рассчитал, что для заполнения всего космоса необходимо 1063 крупиц песка. Уже в те времена миллиардов и миллиардов явно не хватало, чтобы решать по-настоящему масштабные задачи.

Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишенного ошибок и неясностей, т.е. более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира… Математический анализ, являясь способностью человеческого разума, восполняет краткость нашей жизни и несовершенство наших чувств.

— Жан Батист Жозеф Фурье. Аналитическая теория тепла (1822 г.)[4]

В известном мне варианте эта история произошла в Древней Персии, хотя с тем же успехом могла случиться в Индии и даже в Китае. В любом случае это было давным-давно. Великий визирь, главный советник правителя, изобрел новую игру, в которой следовало передвигать фигуры по квадратной доске, расчерченной на 64 клетки красного и черного цвета. Самой главной фигурой был правитель, следующей по значимости — визирь, как и следовало ожидать, учитывая личность изобретателя. Цель игрока состояла в том, чтобы уничтожить главную фигуру противника, и по соответствующим словам персидского языка (шах — правитель, мат — смерть) игра получила название «шахматы». Буквально, «смерть правителя». В русском языке эта игра так до сих пор и называется, в чем, видимо, сказывается особая революционность русского народа. Время шло, менялись фигуры, их ходы и правила игры. Так, место визиря теперь занимает ферзь, обладающий несравнимо большими возможностями.

Как шаху могла понравиться игра «Убей правителя» — загадка. Однако, гласит легенда, шах был настолько восхищен новым развлечением, что предложил великому визирю самому назначить себе награду. Предложение не застало того врасплох. Визирь ответил, что он человек скромный и просьба его будет самой скромной. Вот игровая доска, расчерченная на восемь столбцов и восемь рядов. Пусть на первую клетку положат всего лишь одно зернышко пшеницы, на вторую в два раза больше, на третью — еще в два раза больше и так далее, пока все клетки не будут заполнены. Шах запротестовал. Столь ничтожная плата за такое замечательное изобретение! Он предлагал драгоценности, красавиц, дворцы. Но мудрец, смиренно потупившись, отвергал любые дары. Все, что ему нужно, — малая толика пшеницы. И правитель, втайне сетуя на непритязательность и упрямство своего советника, согласился.

Однако, когда хранитель царской житницы принялся отсчитывать зерно, открылся неприятный сюрприз. Все началось с малого: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024… Но чем дальше, тем более чудовищными, невообразимо огромными становились числа. Последней, 64-й клетке соответствует почти 18,5 квинтиллиона (см. врезку далее). Вероятно, великий визирь сидел на диете с высоким содержанием клетчатки.

Сколько весят 18,5 квинтиллиона зерен пшеницы? Если принять размер каждого зернышка равным миллиметру, то их общий вес составит около 75 млрд тонн — намного больше запасов любого шаха. Собственно говоря, это урожай за 150 лет при современных объемах производства. Дальнейшее тонет во мраке времен. Уступил ли шах мудрецу свою державу, коря себя за пренебрежение арифметикой, или предпочел сыграть в новую игру «визирьмат», осталось неведомым.

Возможно, история изобретения персидских шахмат — всего лишь сказка. Но древние персы и индийцы действительно совершили немало блистательных открытий в математике и хорошо представляли, какие результаты дает последовательное удвоение. Если бы шахматные партии разыгрывались на доске с сотней клеток (10 × 10), шах задолжал бы визирю пшеницу общим весом, равным весу Земли. Числовая последовательность, в которой каждое следующее число является результатом умножения предыдущего на фиксированную величину, называется геометрической прогрессией, а соответствующий процесс увеличения итога — экспоненциальным ростом.

Геометрические прогрессии встречаются во всех важных сферах жизни, обыденных и экзотических. Для примера рассмотрим сложный процент. Если бы ваш предок 200 лет назад, вскоре после Войны за независимость, положил в банк $10 под 5% годовых, то на счете уже было бы $10 × 1,05200, или $172 925,81. (Чтобы узнать, сколько будет 1,05200, нужно попросту умножить число 1,05 само на себя 200 раз.) Жаль, что немногие предки так заботятся о благосостоянии отдаленных потомков, да и $10 — в те времена солидная сумма — нашлись бы не у каждого. Если бы ваш щедрый пращур разместил вклад под 6% годовых, вы бы унаследовали больше миллиона, под 7% — больше $7,5 млн. Фантастические 10% годовых принесли бы вам кругленькую сумму — $1,9 млрд.

Аналогично «работает» инфляция. При уровне инфляции 5% в год доллар через год будет стоить $0,95, через два года (0,95)2 = $0,91, через 10 лет «похудеет» до $0,61, через 20 — до $0,37 и т.д. Это самым непосредственным образом касается пенсионеров, годовые выплаты которым являются фиксированными и не индексируются с учетом инфляции.

Многократное удвоение и, следовательно, экспоненциальный рост — характерная особенность воспроизводства биологических организмов. Начнем с простого примера — бактерии, размножающейся делением. Через положенное время каждая из двух дочерних бактерий также делится надвое. При достаточном количестве пищи и отсутствии ядов в среде обитания колония бактерий растет в геометрической прогрессии. В самых благоприятных условиях удвоение их численности происходит примерно каждые 15 минут: четыре удвоения в час, 96 в сутки. Одна бактерия весит около одной триллионной доли грамма, но всего через сутки безудержного размножения ее потомки сравняются весом с горой, через каких-нибудь полтора дня — с Землей, а через двое суток перетянут на весах Солнце… Пройдет еще немного времени, и вся Вселенная будет заполнена бактериями. Перспективы не слишком радужные, но, к счастью, несбыточные. Почему? Потому что подобный экспоненциальный рост неизбежно упирается в тот или иной естественный барьер. Букашки, например, съедают всю пищу, отравляют друг друга или перестают спариваться, когда их слишком много. Экспоненциальный рост не может продолжаться вечно, иначе он поглотил бы все, но задолго до этого в игру вступает сдерживающий фактор. Экспоненциальная кривая выходит на плато (см. рисунок).

Эта особенность очень важна в свете эпидемии СПИДа. Ныне во многих странах количество людей с симптомами этой болезни растет в геометрической прогрессии, удваиваясь ежегодно. Это значит, что каждый год носителей вируса СПИД становится в два раза больше, чем было в прошлом году. СПИД уже привел к огромным людским потерям. Если бы экспоненциальное распространение эпидемии продолжилось, человечество ждала бы небывалая катастрофа. Через 10 лет число заболевших увеличилось бы в тысячу раз, а через 20 лет — в миллион. Умножив нынешнее количество больных на миллион, получим результат, намного превышающий население Земли. Если бы ежегодное удвоение числа больных СПИДом не имело никаких естественных ограничений, а само заболевание неизбежно приводило к фатальному исходу (и было абсолютно неизлечимым), то все земляне умерли бы от СПИДа, и очень быстро.

Однако некоторые люди обладают врожденным иммунитетом. Кроме того, по данным Центра по борьбе с инфекционными болезнями Министерства здравоохранения США, экспоненциальный рост заболеваемости СПИДом поначалу происходил почти исключительно в группах риска, представители которых — прежде всего гомосексуальные мужчины, больные гемофилией и лица, употребляющие внутривенные наркотики, — практически не имеют половых контактов с остальным населением. Если лекарство от СПИДа не будет найдено, героиновые наркоманы, имеющие привычку колоться общими иглами, умрут. Не все — благодаря врожденному иммунитету, но почти все. Та же судьба ждет гомосексуалистов, имеющих беспорядочные и незащищенные связи, однако минует тех, кто никогда не пренебрегает средствами защиты, хранит верность постоянному партнеру, а также входит в число немногих счастливчиков, невосприимчивых к этому заболеванию. Стопроцентные гетеросексуалы, с начала 1980-х гг. не изменяющие друг другу (или практикующие безопасный секс), при условии, что они не пользуются общими шприцами, — а таких людей большинство — в общем, застрахованы от СПИДа. После того как кривые заболеваемости групп наибольшего риска выйдут на плато, настанет очередь менее уязвимых групп. В настоящее время в Америке это, видимо, гетеросексуальная молодежь, не умеющая обуздывать страсти и увлекающаяся небезопасными экспериментами. Многие из них умрут, кого-то спасет везение, врожденный иммунитет или воздержанность, а пик роста заболеваемости переместится в очередную по рискованности группу — возможно, следующее поколение мужчин-гомосексуалистов. В итоге экспоненциальная кривая всего человечества выйдет на плато, а СПИД убьет гораздо меньше людей, чем все население Земли (что, впрочем, едва ли утешит множество его жертв и их близких).

* * *

Кризис перенаселения Земли также связан с явлением экспоненциального роста. Большую часть существования человечества его численность была практически постоянна — рождаемость и смертность уравновешивали друг друга. Такое состояние называется динамическим равновесием. С развитием сельского хозяйства, включая методы возделывания той самой пшеницы, которую так жаждал великий визирь, численность людей стала увеличиваться и вошла в фазу экспоненциального роста. А это что угодно, только не равновесие. Сейчас население нашей планеты удваивается за 40 лет. Каждые 40 лет нас становится в два раза больше. Английский священник Томас Мальтус еще в 1798 г. заметил: население, растущее по экспоненте, — в терминологии Мальтуса, в геометрической прогрессии — будет голодать при любом росте производства продуктов питания. Никакая зеленая революция, никакая гидропоника, никакое освоение пустынь не компенсирует экспоненциаль­ного роста количества едоков.

За пределами Земли решения этой проблемы также не существует. Сейчас ежедневно рождается примерно на 240 000 человек больше, чем умирает. Наши возможности, мягко говоря, недостаточны, чтобы отправлять в космос 240 000 переселенцев в день. Никакие базы на земной орбите, на Луне или на Марсе не вместят сколько-нибудь заметную часть столь бурно растущего населения. Даже если бы мы могли перебросить всех в…