Как ломаются спагетти и другие задачи по физике

Серия «Научно-популярные задачи»

Вот уже больше десяти лет каждую неделю на сайте «Элементы» выходит новая задача — по физике, математике, лингвистике, биологии, химии или даже по астрономии, экономике, археологии. В понедельник публикуется условие, в среду — одна или несколько подсказок, в пятницу — решение и научно-популярное послесловие. Эту структуру мы оставили и в книге, прибегнув к небольшим хитростям, чтобы подсказка и решение не попались вам на глаза раньше времени.

Ради послесловия — рассказа о том, как затронутые в задаче вопросы решаются в науке и в жизни, — и был придуман этот жанр. Послесловие превращает задачу в научно-популярную статью — и уже не так важно, удалось ли вам ее решить, вы получите удовольствие в любом случае.

Серию открывают сборники задач по физике и лингвистике. Готовятся к выходу математика и биология. А на elementy.ru/problems вас всегда ждет свежая задача.

Увлекательного вам чтения!

Редакция «Элементов»

Благодарности

Для меня было огромным удовольствием работать над этой книгой вместе с командой великолепных специалистов: редактором Джейн Эванс и выпускающим редактором Ханной Снетсингер из издательства Jessica Kingsley Publishers, иллюстраторами Дженнифер Уитни (картинки к упражнениям для самопомощи) и Амандой Уэй (оформление цитат в конце каждой главы), благодаря которым эта работа стала такой яркой и замечательной. Я благодарю мужа, детей, маму, брата и золовку, которые дарили мне любовь и поддержку, и кошку, которая постоянно топталась на моем ноутбуке. Большое спасибо подруге и наставнику Эрзе Уэрб за то, что направляла меня на протяжении всей работы над книгой. Спасибо Эрике Кертис, Мэгги Линч, Майку Сонксену, Стивону Льюису, Эндрю Лоустону и Иден Бирн за их безграничный оптимизм. Спасибо прекрасным клиентам и студентам, с которыми мне посчастливилось встретиться. Все разработанные мной приемы самопомощи они испытывали на себе, делились наблюдениями и помогали определить, что из этого реально работает. Спасибо подписчикам в Instagram (@risawilliamstherapy), которые читали мои советы, а также Кэтрин Килти из Breathe Magazine и Шиван Чхве, которые публиковали мои статьи по психологии. Отдельное спасибо Тит Нат Ханю, Джозефу Кэмпбеллу, Марисе Пир, Джен Синсеро, Эстер Хикс, Брене Браун, Экхарту Толле, Мари Кондо, Мартину Селигману, Дэвиду Бернсу, Уэйну Дайеру и Виктору Франклу за их вдохновляющие книги. Я благодарю судьбу за то, что они оказали такое влияние на мою жизнь, и надеюсь, моя работа тоже привнесет в мир немного добра и света.

Предисловие

В средних классах школы во мне странным образом уживались два разных отношения к физике. Школьную физику я учил более-менее хорошо, на твердую четверочку, но никакого воодушевления она у меня не вызывала. Грузики на наклонной плоскости, пружинки жесткости k, сообщающиеся сосуды, провода с током... Даже если иногда приходилось решать задачи «со звездочкой», задачи повышенной трудности, это были все те же грузики и пружинки, только более запутанные. Зато дома я зачитывался литературой по элементарным частицам, черным дырам, космосу и термоядерному синтезу. Вот это реальная физика, настоящая, восхитительная — ожившая научная фантастика! А школьная физика — так, пыль.

Затем была новосибирская физматшкола с ее уникальными, совершенно нескучными курсами физики. Шикарные лекции по физике нам читал Михаил Алексеевич Могилевский, а параллельно шли факультативные курсы по физике полупроводников, квантовой механике, элементарным частицам. И я, тогдашний школьник, с удивлением осознал, что некоторые вопросы из современной физики я способен постигать количественно, через решение задач, специально адаптированных для продвинутых школьников. Конечно, до настоящей исследовательской науки было еще очень далеко. Но тот разрыв между школьной и современной физикой, который раньше ощущался как безбрежная и бездонная пропасть, вдруг стал обозримым.

Методы и закономерности современной физики перестают казаться таинственными чудесами, если сам способен сосчитать что-то оттуда, пусть даже совсем элементарное и с подсказками. Я уверен, что любой человек, интересующийся современной физикой, пусть и без специального физического образования, имеет право и возможность совершить этот прыжок. Искренне надеюсь, что собранные в этой книжке задачи помогут вам испытать интеллектуальное удовольствие.

Перед вами — задачи не повышенной трудности, а повышенной интересности. Они не натренируют вас на сдачу ЕГЭ или на решение олимпиадных задач. Они подарят удовольствие от более тесного знакомства с окружающей физической реальностью, позволят вам «пощупать руками» современную физику. Некоторые из них очень простые, другие посложнее, отдельные задачи — трудные; уровень задач отмечен звездочками. Но все их объединяет одно: они опираются на школьный багаж знаний, дополненный иногда научно-популярными материалами, и при этом так или иначе касаются реальных научных исследований.

Типы заданий тут самые разные. Есть задачи вычислительные: они, хоть и выглядят технически как школьные задачки, по сути представляют собой упрощенный анализ какой-то реальной ситуации из современной физики. Есть также целый класс задач-оценок. В них не требуется получить точный ответ; более того, какого-то единственного, абсолютно правильного ответа может и не оказаться. В них надо лишь найти главные зависимости между величинами — и именно это будет считаться решением задачи, что, между прочим, в современной физике встречается сплошь и рядом. Наконец, есть задачи на «подумать», в которых вообще не требуется что-то вычислять. Вся суть таких задач — разобраться с явлением и получить удовлетворяющий вас самих ответ.

Каждая задача — миниатюра, выстроенная вокруг одного физического вопроса. Задача начинается со вступления, которое обрисовывает тему, дает нужные сведения и, постепенно подводя вас к проблеме, завершается формулировкой вопроса. Затем следуют подсказки разной степени детализации. Потом — авторское решение, которое не всегда является единственно верным путем к ответу. И завершает сюжет послесловие: в нем тема развивается чуть дальше и приводятся ссылки на реальные исследования и публикации.

Тематическая группировка задач довольно условна. Скажем, в задачах из блока «Механика» встречаются и элементарные частицы, и гравитационные волны. Но и что из того? Это не учебник и не задачник для контроля усвоенного материала. Тут не скажешь: «Мы этого не проходили!» Это, скорее, ваш «туристический путеводитель» по избранным тропам современной физики — и то, как вы пройдете по каждой тропе, зависит от вашего любопытства и готовности преодолевать сложности. Конечно, задачи можно просто читать одну за другой, не затрудняя себя их решением, — и я надеюсь, что даже в таком режиме книжка окажется очень полезной. Но вы получите куда более полное впечатление, если все же остановитесь на несколько минут и попробуете самостоятельно справиться с задачей — а потом задержитесь еще раз, прочитав подсказки. В конце концов, и настоящее путешествие запоминается куда ярче, если вы весь маршрут проделаете пешком, а не промчитесь в автомобиле.

Так что — в путь, и удачи и удовольствий вам!

Игорь Иванов

1. Оптимизируйте коллайдер

Большой адронный коллайдер (БАК) — самый сложный научный прибор, построенный человеком. В нем протоны, разгоняясь до очень больших энергий, врезаются друг в друга, в результате чего рождаются новые необычные частицы, разлетающиеся в разные стороны из точек столкновений. Многометровые детекторы, словно гигантские микроскопы, разглядывают этот процесс: регистрируют частицы, измеряют их свойства и по ним восстанавливают картину соударений. Через такие столкновения мы и выясняем, из чего состоит и как функционирует Вселенная на самом мельчайшем масштабе. Мы задаем природе четко поставленные вопросы, и она, не в силах отвертеться, выдает свои фундаментальные секреты один за другим.

И хотя это, безусловно, самая передовая физика, мы начинаем книгу с задачи про коллайдер! И она будет вам по силам — потому что даже в сложнейших процессах встречаются очень простые явления. Признаемся по секрету: для решения этой задачи не требуется даже знание законов физики, поможет самая обыкновенная смекалка.

Задача

Но давайте сначала познакомимся с устройством коллайдера. На рис. 1 очень схематично изображено основное кольцо БАК. Реальное его устройство, конечно, сложнее, но для этой задачи мы намеренно упрощаем ситуацию. По кольцу навстречу друг другу циркулируют протонные пучки. На самом деле они летают в двух близких вакуумных трубах, но для простоты будем считать, что все происходит в одной трубе. Каждый пучок состоит из отдельных компактных облачков (сгустков) протонов.

Будем считать, что в восьми точках вдоль кольца, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, траектории встречных пучков пересекаются, и там протоны могут сталкиваться друг с другом — если, конечно, сгустки пролетят сквозь эту область одновременно! Впрочем, даже если сгустки пересеклись, то это вовсе не значит, что все протоны из одного облачка столкнулись с протонами из другого. Они очень разреженные, так что подавляющее большинство протонов ни с кем не сталкивается, соударения испытывают только несколько протонов из многих миллиардов. Поэтому сгустки в целом просто проходят друг сквозь друга, продолжая лететь по своей траектории, и готовы встречаться на каждом обороте снова и снова.

А теперь представьте себе, что вы сидите в пультовой коллайдера и управляете запуском пучков в ускорительное кольцо. Вы можете послать в него несколько сгустков, причем не обязательно поровну в обоих направлениях. Считается, что все сгустки летят с одинаковой скоростью, но то, как именно они будут размещены на кольце, зависит только от вас! Ваша задача — сделать так, чтобы столкновения происходили во всех восьми точках.

Выясните, какое минимальное число сгустков надо запустить в кольцо коллайдера и как именно их расположить относительно друг друга, чтобы этого добиться.

Решение

Первым делом подмечаем, что любая встречная пара сгустков, движущихся с одинаковой скоростью, будет встречаться на кольце ровно два раза в диаметрально противоположных точках. Если мы хотим задействовать таким образом восемь точек, то минимальное количество встречных пар — четыре.

Четыре встречные пары можно организовать двумя способами. Первый вариант: один сгусток в одну сторону, а четыре — в другую; всего пять сгустков. Второй вариант: в обе стороны летят по два сгустка — всего четыре. Значит, второй вариант более оптимальный.

Осталось подобрать взаимное расположение сгустков так, чтобы все четыре попарных комбинации встречались в указанных местах. Пример такого расположения показан на рис. 2. Это и есть решение задачи.

Послесловие

У решения есть одна неожиданная особенность: оно менее симметрично, чем постановка задачи. Никакого глубокого вывода отсюда не следует, но, как показывает опыт, бывает так, что эта несимметричность становится препятствием при поиске ответа: мозг подсознательно ожидает, что решение будет столь же симметричным, как и условие.

Любопытно, что и в реальности, на самых первых этапах запуска и отладки БАК применялась примерно такая схема. В настоящем кольце этого коллайдера столкновения происходят не в восьми, а в четырех точках (с номерами 1, 2, 5, 8), вокруг которых построены крупные детекторы ATLAS, ALICE, CMS и LHCb. Но расположены они все равно в вершинах правильного восьмиугольника. Благодаря этому при запуске коллайдера можно было проверить работоспособность всех детекторов с минимальным количеством сгустков в пучках. А уже затем, когда техники убедились в стабильности пучков и надежности аппаратуры, они начали планомерно повышать интенсивность. В пике интенсивности в каждом пучке циркулируют более 2000 сгустков. Они следуют друг за другом с интервалом 25 наносекунд, то есть на расстоянии примерно восемь метров друг от друга, и заполняют практически все кольцо. Но подчеркнем, что даже при такой плотной загрузке столкновения происходят только в тех четырех местах, где две вакуумные трубы пересекаются.

Дополнительная информация

Подробную информацию на русском языке об устройстве и научных задачах Большого адронного коллайдера, а также связанную с ним ленту новостей можно найти в специальном проекте на сайте «Элементы»: elementy.ru/LHC.

БАК — крупнейший, но далеко не единственный научный проект ЦЕРНа, Европейской организации ядерных исследований. О других научных исследованиях, технических разработках и образовательных мероприятиях ЦЕРНа можно узнать на его сайте: home.cern.

2. Хоккейная задача

В прошлой задаче мы сразу нырнули в самую современную физику. А теперь давайте вынырнем и обратимся к повседневной жизни, поговорим о спорте. Спорт — это движение, а значит, в нем тоже можно углядеть интересные и подчас неожиданные физические явления. Возьмем, например, хоккей. При кистевом броске хоккеисты часто закручивают шайбу, так что она одновременно скользит по льду и вращается. Если движение шайбы не ограничивать размерами хоккейной коробки, то рано или поздно и вращение, и скольжение остановятся из-за трения о лед. Но что прекратится раньше?

Этот вопрос может удивить: неужели тут есть какие-то общие закономерности?! Да, есть, и мы сейчас их разберем.

Задача

Рассмотрим слегка упрощенную задачу. Пусть вместо шайбы у нас будет однородное узкое и плоское кольцо. Его запускают скользить по горизонтальной поверхности, придав некоторую начальную скорость и некоторое вращение (рис. 1). Между кольцом и поверхностью действует обычное сухое трение: сила трения пропорциональна прижимающей силе, не зависит от модуля скорости проскальзывания и направлена в противоположную от скорости сторону.

Выясните, что остановится раньше — скольжение или вращение кольца.

Решение

Рассмотрим участок кольца, который находится под углом α к направлению движения (рис. 2). Пусть в данный момент времени скорость центра масс кольца равна v, а скорость вращения обода u = ωR, где ω — угловая скорость вращения в данный момент, а R — радиус кольца. Этот кусочек кольца участвует в поступательном и вращательном движении. Его скорость относительно поверхности показана на рисунке серой стрелкой. Она составляет угол β с направлением поступательного движения, причем

Эти выражения выглядят громоздкими, но они получаются из обычных формул сложения двух векторов скоростей.

Сила трения, действующая на этот участок, по модулю равна F = μmg (здесь m — масса участка кольца) и направлена в противоположную от скорости сторону. У этой силы есть проекция на направление поступательного движения, –F cos β, и проекция на касательную к кольцу, которая притормаживает вращение, –F sin (β – α). Не стесняясь, подставим сюда выражения для синуса и косинуса угла β, а также учтем, что sin (β – α) = sin β cos α – cos β sin α:

У этой силы есть также проекция вбок, то есть перпендикулярно поступательному движению, но при усреднении по всему кольцу эта проекция обнулится. В этом можно убедиться математически, если рассмотреть второй участок, находящийся под углом π – α. Для него построение аналогичное, две притормаживающие проекции будут такими же, а сила вбок — ровно противоположная.

Для того чтобы посчитать эффект для всего кольца в целом, надо сложить эти силы по всему кольцу, то есть учесть элементы кольца, расположенные под всеми углами α. Это даст нам два ускорения, притормаживающих поступательное движение и вращение:

Угловые скобки обозначают усреднение по всем углам α; это последствие того, что мы общую силу поделили на общую массу. При желании его можно выразить через интегралы, но это не обязательно.

Заметьте интересную особенность полученных формул: при замене u на v выражения для au и av превращаются друг в друга. Такая «дуальность» задачи автоматически означает, что если бы начальные скорости u и v были равны, то ускорения au и av тоже были бы одинаковые и, значит, соотношение u = v выполнялось бы всегда, до самой остановки. А это, в свою очередь, означает, что вращение и скольжение в данном случае прекратятся одновременно. Смотрите, произошло математическое «чудо»: мы, просто глядя на формулы, вдруг получили ответ для нашей задачи, по крайней мере для одного начального состояния!

А что изменится, если начальные скорости u и v различаются? Тогда ускорения тоже будут отличаться, и, казалось бы, заранее не понятно, что будет замедляться быстрее. Чтобы выяснить, может ли при этом вращение остановиться раньше скольжения, рассмотрим ситуацию, когда скорость вращения u много меньше скорости поступательного движения v. Тогда для поступательного ускорения мы получим примерно av = −μg, словно вращения и не было. Для вращательного ускорения au получим маленькую величину порядка −μg·u/v,поскольку «большой» вклад, пропорциональный синусу, обнулился после усреднения по всем углам (более точное выражение см. в послесловии). Иными словами, если вращение очень медленное, то оно и замедляется намного медленнее, чем скольжение.…